LSH(Locality Sensitive Hashing)翻译成中文，叫做“局部敏感哈希”，它是一种针对海量高维数据的快速最近邻查找算法。

在信息检索，数据挖掘以及推荐系统等应用中，我们经常会遇到的一个问题就是面临着海量的高维数据，查找最近邻。如果使用线性查找，那么对于低维数据效率尚可，而对于高维数据，就显得非常耗时了。为了解决这样的问题，人们设计了一种特殊的hash函数，使得2个相似度很高的数据以较高的概率映射成同一个hash值，而令2个相似度很低的数据以极低的概率映射成同一个hash值。我们把这样的函数，叫做LSH（局部敏感哈希）。 LSH最根本的作用，就是能高效处理海量高维数据的最近邻问题

定义

我们将这样的一族hash函数 $H=\{h: S \rightarrow U\}$ 称为是 $(r_1,r_2,p_1,p_2)$ 敏感的，如果对于任意H
中的函数 $h$ ，满足以下2个条件：

1. 如果 $d\left(O_{1}, O_{2}\right)<r_1$ ，那么 $\operatorname{Pr}\left[h\left(O_{1}\right)=h\left(O_{2}\right)\right] \geq p_{1}$
2. 如果 $d\left(O_{1}, O_{2}\right)>r_2$ ，那么 $\operatorname{Pr}\left[h\left(O_{1}\right)=h\left(O_{2}\right)\right] \leq p_{2}$

其中， $O_{1}, O_{2} \in S$ 为两个对象的相异程度，也就是相似度。其实上面的这两个条件说得直白一点，就是当足够相似时，映射为同一hash值的概率足够大；而足够不相似时，映射为同一hash值的概率足够小。

相似度的定义根据实际情况自己决定（有关数据对象相似度的比较，详情可以参考我的另一篇博文： 数据相似性的度量方法总结 ），后面我们可以看到，针对不同的相似度测量方法，局部敏感哈希的算法设计也不同，我们主要看看在两种最常用的相似度下，两种不同的LSH：

1. 使用Jaccard系数度量数据相似度时的min-hash
2. 使用欧氏距离度量数据相似度时的P-stable hash

当然，无论是哪种LSH，其实说白了，都是将高维数据降维到低维数据，同时，还能在一定程度上，保持原始数据的相似度不变。LSH不是确定性的，而是概率性的，也就是说有一定的概率导致原本很相似的数据映射成2个不同的hash值，或者原本不相似的数据映射成同一hash值。这是高维数据降维过程中所不能避免的（因为降维势必会造成某种程度上数据的失真），不过好在LSH的设计能够通过相应的参数控制出现这种错误的概率，这也是LSH为什么被广泛应用的原因。

min-hash

hash函数的选择

了解min-hash之前，首先普及一下Jaccard系数的概念。Jaccard系数主要用来解决的是非对称二元属性相似度的度量问题，常用的场景是度量2个集合之间的相似度，公式这里我不写了，就是2个集合的交比2个集合的并。

比如，我在底下的表格中写出了4个对象（你可以看做是4个文档）的集合情况，每个文档有相应的词项，用词典 $\{w_1,w_2,…,w_7\}$ 表示。若某个文档存在这个词项，则标为1，否则标0

Word	$D_1$	$D_2$	$D_3$	$D_4$
$w_1$	1	0	1	0
$w_2$	1	1	0	1
$w_3$	0	1	0	1
$w_4$	0	0	0	1
$w_5$	0	0	0	1
$w_6$	1	1	1	0
$w_7$	1	0	1	0

首先，我们现在将上面这个word-document的矩阵按行置换，比如可以置换成以下的形式：

Word	$D_1$	$D_2$	$D_3$	$D_4$
$w_2$	1	1	0	1
$w_1$	1	0	1	0
$w_4$	0	0	0	1
$w_3$	0	1	0	1
$w_7$	1	0	1	0
$w_6$	1	1	1	0
$w_5$	0	0	0	1

可以确定的是，这没有改变文档与词项的关系。现在做这样一件事：对这个矩阵按行进行多次置换，每次置换之后，统计每一列（其实对应的就是每个文档）第一个不为0的位置（行号），这样每次统计的结果能构成一个与文档数等大的向量，这个向量，我们称之为 签名向量。

比如，如果对最上面的矩阵做这样的统计，得到[1,2,1,2]，对于下面的矩阵做统计，得到[1,1,2,1]

简单来想这个问题，就拿上面的文档来说，如果两个文档足够相似，那也就是说这两个文档中有很多元素是共有的，换句话说，这样置换之后统计出来的签名向量，如果其中有一些文档的相似度很高，那么这些文档所对应的签名向量的相应的元素，值相同的概率就很高。

我们把最初始时的矩阵叫做 input matrix 由 $m$ 个文档， $n$ 个词项组成。而把由 $t$ 次置换后得到的一个 $t×m$ 的矩阵叫做 signature matrix .

下图能够很清晰的展现出这一套流程：

需要注意的是，置换矩阵的行，在代码实现的时候，可以用这样的算法实现：

1. 在当下剩余的行中（初始时，剩余的行为全部行），随机选取任意一行，看看这一行哪些位置（这里的位置其实是列号）的元素是1，如果签名向量中这个位置的元素还未被写入，则在这个位置写入随机选取的这个行的行号。并将这一行排除。
2. 持续进行1步的工作，直到签名向量全部被写满为止。

以上2步的意义跟对整个矩阵置换、再统计，结果是一样的。这么说可能有点抽象，我把函数放在下面：

def sigGen(matrix):
"""
* generate the signature vector
:param matrix: a ndarray var
:return a signature vector: a list var
"""
# the row sequence set
seqSet = [i for i in range(matrix.shape[0])]
# initialize the sig vector as [-1, -1, ..., -1]
result = [-1 for i in range(matrix.shape[1])]
count = 0
while len(seqSet) > 0:
# choose a row of matrix randomly
randomSeq = random.choice(seqSet)
for i in range(matrix.shape[1]):
if matrix[randomSeq][i] != 0 and result[i] == -1:
result[i] = randomSeq
count += 1
if count == matrix.shape[1]:
break
seqSet.remove(randomSeq)
# return a list
return result

现在给出一个定理。

定理：对于签名矩阵的任意一行，它的两列元素相同的概率是 $\frac{x}{n}$ ，其中 $x$ 代表这两列所对应的文档所
拥有的公共词项的数目。而也就是这两个文档的Jaccard系数。

这个定理我想不用证明了。实际上，置换input matrix的行，取每列第一个非0元的做法，就是一个hash函数。这个hash函数成功地将多维数据映射成了一维数据。而从这个定理我们发现，这样的映射没有改变数据相以度。

需要注意的一点是，这里的hash函数只能对Jaccard系数定义数据相似度的情况起作用。不同的相似度模型，LSH是不同的，目前，还不存在一种通用的LSH。

构造LSH函数族

为了能实现前面LSH定义中的2个条件的要求，我们通过多次置换，求取向量，构建了一组hash函数。也就是最终得到了一个signature matrix. 为了控制相似度与映射概率之间的关系，我们需要按下面的操作进行，一共三步。

(1)将signature matrix水平分割成一些区块（记为band),每个band包含了signature matrix中的m
行。需要注意的是，同一列的每个bad都是属于同一个文档的。如下图所示:

(2)对每个band计算hash值，这里的hash算法没有特殊要求，MD5,SHA1等等均可。一般情况下，我们需要将这些hash值做处理，使之成为事先设定好的hash桶的tag,然后把这些band“扔”进hash桶中。如下图所示。但是这里，我们只是关注算法原理，不考虑实际操作的效率问题。所以，省略处理hash值得这一项，得到每个band的hash值就OK了，这个hash值也就作为每个hash bucket的tag。

(3) 如果某两个文档的，同一水平方向上的band，映射成了同一hash值（如果你选的hash函数比较安全，抗碰撞性好，那这基本说明这两个band是一样的），我们就将这两个文档映射到同一个hash bucket中，也就是认为这两个文档是足够相近的。

好了，既然执行的是上面三步的操作，那不难计算出两个文档被映射到同一个hash bucket中的概率：

• 对于两个文档的任意一个band来说，这两个band值相同的概率是： $s^r$ ，其中 $s\in [0,1]$ 是这两个文档的相似度。
• 也就是说，这两个band不相同的概率是 $1-s^r$
• 这两个文档一共存在b个band，这b个band都不相同的概率是 $(1-s^r)^b$
• 所以说，这b个band至少有一个相同的概率是 $1-(1-s^r)^b$

它是先要求每个band的所有对应元素必须都相同，再要求多个band中至少有一个相同。符合这两条，才能发生hash碰撞。

概率 $1-(1-s^r)^b$ 就是最终两个文档被映射到同一个hash bucket中的概率。我们发现，这样一来，实际上可以通过控制参数r,b的值来控制两个文档被映射到同一个哈希桶的概率。而且效果非常好。比如，令 $b=20,r=5$

• 当 $s=0.8$ 时，两个文档被映射到同一个哈希桶的概率是：

$\operatorname{Pr}\left(L S H\left(O_{1}\right)=L S H\left(O_{2}\right)\right)=1-\left(1-0.8^{5}\right)^{5}=0.9996439421094793$

• 当 $s=0.2$ 时，两个文档被映射到同一个哈希桶的概率是：

$\operatorname{Pr}\left(L S H\left(O_{1}\right)=L S H\left(O_{2}\right)\right)=1-\left(1-0.2^{5}\right)^{5}=0.0063805813047682$

不难看出，这样的设计通过调节参数值，达到了“越相似，越容易在一个哈希桶；越不相似，越不容易在一个哈希桶”的效果。这也就能实现我们上边说的LSH的两个性质。

我画出了在r=5,b=20参数环境下的概率图，大家会有个更清晰的认识。

当相似度高于某个值的时候，概率会变得非常大，并且快速靠近1，而当相似度低于某个值的时候，概率会变得非常小，并且快速靠近0

限于篇幅，代码就不在博客里罗列了，需要的话可以访问我的github主页：
https://github.com/guoziqingbupt/Locality-sensitive-hashing ）

这个项目中，我一共写了min-hash和e2LSH两个算法的实现，min-hash部分请参见模块min_hash.py。另外， 需要注意的是，每一层的band只能和同一层的band相比，若hash值相同，则放入同一个哈希桶中。

P-stable hash

最开始的时候，我们已经说过，不同的相似度判别方法，对应着不同的LSH，那对于最常见的Lp范数下的欧几里得空间，应该用怎样的LSH呢？这就要介绍P-stable hash了。

P-stable distribution

在讲解P-stable hash之前，先简单介绍一下 $p$ 稳定分布的概念。

定义: 一个分布 $D$ 称为 $p$ 稳定分布，如果对于任意 $\mathrm{n}$ 个实数 $v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n}$ 和符合 $D$ 分布的 $\mathrm{n}$ 个独立同分布的随机变量 $X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}$ ， 都存在一个 $p \geq 0$ ，使得 $\sum_{i} v_{i} X_{i}$ 和 $\left(\sum_{i}\left|v_{i}\right|^{p}\right)^{1 / p} X$ 具有相同的分布，其中， $X$ 是一个满足 $D$ 分布的随机变量。

目前，根据相关文献，在 $p\in (0,2]$ 这个范围内存在稳定分布。我们最常见的是 $p=1$ 以及 $p=2$ 时的情况。

• $p=1 \text { 时，这个分布就是标准的柯西分布。概率密度函数： } c(x)=\frac{1}{\pi} \frac{1}{1+x^{2}}$
• $p=2 \text { 时，这个分布就是标准的正态分布。概率密度函数： } c(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-x^{2} / 2}$

当然， $p$ 值不是仅能取1和2. (0,2]中的小数也是可以的。

$p$ 稳定分布有什么作用呢，我们为什么在这里提出来？它有一个重要的应用，就是可以估计给定向量 $v$ 在欧式空间下的 $p$ 范数的长度，也就是 $||v||_p$ 。

可以这样实现: 对于一个向量 $v$ (相当于上面公式中的 $\left(v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n}\right)$ ，现在从 $p$ 稳定分布中，随机选取 $v$ 的维度个随机变量（相当于上面公式中的 $\left.X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}\right)$ 构成向量 $a$ ，计算 $a \cdot v=\sum_{i} v_{i} X_{i}$ ，此时， $a \cdot v$ 与 $\|v\|_{p} X$ 同分布。我们就可以通过多给几个不同的向量 $a$ ，多计算几个 $a \cdot v$ 的值，来估计 $\|v\|_{p}$ 的值。

p-stable分布LSH函数族构造

在 $p$ 稳定的局部敏感hash中，我们将利用 $a \cdot v$ 可以估计 $||v||_p$ 长度的性质来构建hash函数族。具体如下：

• 将空间中的一条直线分成长度为r的，等长的若干段。
• 通过一种映射函数（也就是我们要用的hash函数），将空间中的点映射到这条直线上，给映射到同一段的点赋予相同的hash值。不难理解，若空间中的两个点距离较近，他们被映射到同一段的概率也就越高。
• 之前说过， $a \cdot v$ 可以估计 $\|v\|_{p}$ 长度，那么， $\left(a \cdot v_{1}-a \cdot v_{2}\right)=a\left(v_{1}-v_{2}\right)$ 也就可以用来估计 $\left\|v_{1}-v_{2}\right\|_{p}$ 的长度。
• 综合上面的3条，可以得到这样一个结论：空间中两个点距离：||v1−v2||_p，近到一定程度时，应该被hash成同一hash值，而向量点积的性质，正好保持了这种局部敏感性。因此，可以用点积来设计hash函数族。

文献[1]提出了这样一种hash函数族：

$h_{a, b}(v)=\left\lfloor\frac{a \cdot v+b}{r}\right\rfloor$

其中， $b$ ∈(0，r)是一个随机数， $r$ 是直线的分段长度，hash函数族的函数是依据 $a,b$ 的不同建立的。
可见，若要空间中的两个点 $v_1,v_2$ 映射为同一hash值，需要满足的条件为：这两点与 $a$ 的点积加上随机值 $b$ 的计算结果在同一条线段上。

现在估计一下这个概率。设 $c=\left\|v_{1}-v_{2}\right\|_{p}$ ，则 $a \cdot v_{1}-a \cdot v_{2}$ 与 $c X$ 同分布。概率公式如下:

$p(c)=\operatorname{Pr}\left[h_{a, b}\left(v_{1}\right)=h_{a, b}\left(v_{2}\right)\right]=\int_{0}^{r} \frac{1}{c} f_{p}\left(\frac{t}{c}\right)\left(1-\frac{t}{r}\right) d t$

当 $r$ 的值取定的时候，这个公式可以看做是一个仅与 $c$ 的取值相关的函数。 $c$ 越大，函数值越小（碰撞的概率越低）； $c$ 越小，函数值越大（碰撞的概率越高）。相关的具体证明参见参考文献[2].

但是关于 $r$ 的取值，在文献[1]中，并没有给出一个确定的值。这需要我们根据 $c$ 与 $p$ 的值来设定。

试想，因为我们设定的 $\mathrm{SH}$ 是 $\left(r_{1}, r_{2}, p_{1}, p_{2}\right)$ 敏感的，所以，当 $r_{2} / r_{1}=c$ 的时候（这里的 $c$ 可以看做是一个标准），也就不难推出： $p_{1}=p(1), p_{2}=p(c)$

文献[1]指出，选取合适的r值，能够使得 $\rho=\frac{\ln \left(1 / p_{1}\right)}{\ln \left(1 / p_{2}\right)}$ 尽可能地小。这里面的理论非常复杂，所以，在这里，我给出文献[1]的一张图：

这是在 $L_2$ 范数下， $\rho$ 和最优的 $r$ 的关系，可以看出以下几点信息：

• $c$ 的取值不同时，即便对于相同的r，\rhp也不同
• 在 $r$ 的取值大于某一点后， $\rho$ 对 $r$ 的变化不再敏感
• 虽然从图像的趋势上看， $r$ 越大， $\rho$ 越小，但是， $r$ 的取值也不能太大，否则会导致 $p_1,p_2$ 都接近于1，增大搜索时间（我觉得这就导致LSH没意义了）
• 所以，可见 $r$ 的取值要根据实际情况，自己设定。我有个想法，不知道在具体实施的时候合不合理：可以先确定一下 $r_1,r_2$ 的取值，然后选择合适的 $r$ ，使得 $p_1,p_2$ 都达到我们的要求即可。

p-stable 分布LSH相似性搜索算法

上面完成了对p-stable 分布LSH函数族构造。那么接下来的问题是怎样具体实现hash table的构造以及查询最近邻。我将这个问题按照本人自己的理解写在下面。因为确实难以找到一个权威的文献具体论述这个问题，虽然文献[3]中讲解了这个问题，但是表达有点模糊不清。所以，下面的内容是我自己的理解，个人觉得问题应该不大，如有错误，请批评指正。

我们构建hash table的过程就是要用这个函数族的每一个函数对每一个向量执行hash运算。为了减少漏报率False Negative(就是本来很相近的两条数据被认为是不相似的），一种解决方案是用多个hash函数对向量执行hash运算，比如说，对任意一个向量 $v_{i}$ ，现在准备了 $k$ 个hash函数 $\left(h_{1}(), h_{2}(), \ldots, h_{k}()\right)$ ，这 $k$ 个hash函数是从LSH函数族中随机选取的 $k$ 个，这样，通过计算，就得到了 $k$ 个hash值: $\left(h_{1}\left(v_{i}\right),h_{2}\left(v_{i}\right),\ldots,h_{k}\left(v_{i}\right)\right)$ ，而对于查询 $q$ ，用同样的 $k$ 个hash函数，也能得到一组值 $\left(h_{1}(q), h_{2}(q), \ldots, h_{k}(q)\right)$ ，这两组值之间，只要有一个对应位的值相等，我们就认为 $v_{i}$ 是查询 $q$ 的一个近邻。

但是，现在有一个问题，那就是上面这种做法的结果，确实减少了漏报率，但与此同时，也增加了误报率（本来不很相近的两条数据被认为是相近的）。所以，需要在上面方法的基础上，再增加一个措施。我们从LSH函数族中，随机选取 $L$ 组这样的函数组，每个函数组都由 $k$ 个随机选取的函数构成，当然L个函数组之间不一定是一样的。现在这 $L$ 组函数分别对数据处理，只要有一组完全相等，就认为两条数据是相近的。

其实上面两段的做法，就是一个简单的A N D then O R的逻辑，与我们上面说的min-hash的思路是一致的。我本人将这种方法称为是p-stable hash的 $(k, L)$ 算法。

现在假设 $P=\operatorname{Pr}\left[h_{a,b}\left(v_{1}\right)=h_{a,b}\left(v_{2}\right)\right]$ （这个概率可以由上面的积分公式算出），那么，两条数据被认为是近邻的概率是:

$1-\left(1-P^{k}\right)^{L}$

构建hash table时，如果把一个函数组对向量的一组hash值 $\left(h_{1}\left(v_{i}\right),h_{2}\left(v_{i}\right), \ldots,h_{k}\left(v_{i}\right)\right)$ 作为hash bucket的标识，有两个缺点:

1. 空间复杂度大；
2. 不易查找。

为了解决这个问题，我们采用如下方法:

先设计两个hash函数： $H_1,H_2$

• $H_{1}$ : $Z^{k} \rightarrow\{0,1,2, \ldots, s i z e-1\}$ . 简单说就是把一个 $k$ 个数组成的整数向量映射到hash table的某一个位上，其中size 是hash table的长度。
• $Z^{k} \rightarrow\{0,1,2, \ldots, C\}$ . $C=2^{32}-5$ ，是一个大素数。
  这两个函数具体的算法如下，其中， $r_i$ , $r_i^\prime$ 是两个随机整数。

$\begin{array}{c} H_{1}\left(x_{1}, \ldots, x_{k}\right)=\left(\left(\sum_{i=1}^{k} r_{i} x_{i}\right) \quad \bmod C\right) \quad \bmod \text { size } \\ H_{2}\left(x_{1}, \ldots, x_{k}\right)=\left(\sum_{i=1}^{k} r_{i}^{\prime} x_{i}\right) \quad \bmod C \end{array}$

我们把 $H_2$ 计算的结果成为一个数据向量的“指纹”，这也好理解，它就是由数据向量的 $k$ 个hash值计算得到的。而 $H_1$ 相当于是数据向量的指纹在hash table中的索引，这个算法跟基本的散列表算法是一个思路，不啰嗦了。

通过这两个新建的函数，我们可以将hash table的构建步骤作以下详细说明：

1. 从设计好的 $\mathrm{LH}$ 函数族中，随机选取 $L$ 组hash函数，每组由 $k$ 个hash函数构成，记为 $\left\{g_{1}(\cdot), g_{2}(\cdot), \ldots, g_{L}(\cdot)\right\}$ ，其中 $g_{i}(\cdot)=\left(h_{1}(\cdot), h_{2}(\cdot), \ldots, h_{k}(\cdot)\right)$
2. 每个数据向量经过 $g_{i}(\cdot)$ 被映射成一个整型向量，记为 $\left(x_{1}, \ldots, x_{k}\right)$
3. 将2步生成的 $\left(x_{1}, \ldots, x_{k}\right)$ 通过 $H_{1}, H_{2}$ 计算得到两个数值: index,fp ，前者是hash table的索引，后者是数据向量对应的指纹。这里，为了方便描述这种hash table的结构，我将我们用的hash table的结构画出，如图所示。
4. 若其中有数据向量拥有相同的数据指纹，那么必然会被映射到同一个hash bucket当中
   

补充：用L组hash函数计算数据指纹及相应索引的时候，可能出现两个不相近的数据被两组不同的hash函数族映射为相同数据指纹的情况。这显然增加了误报率，所以一种可行的改进方法为：建立L个hash表，两个数据只要在任意一个hash表内被映射为相同的指纹，就认为二者是相近的。

由于篇幅限制，我在此省略代码，详细的代码实现请参考我的github主页的项目，里面的e2LSH模块写的是p - stable 局部敏感hash的算法：
https://github.com/guoziqingbupt/Locality-sensitive-hashing ）

参考文献

[1] Datar M, Immorlica N, Indyk P, et al. Locality-sensitive hashing scheme based on p-stable distributions[C]//Proceedings of the twentieth annual symposium on Computational geometry. ACM, 2004: 253-262.

[2]LSH和p-stable LSH http://blog.sina.com.cn/s/blog_67914f2901019p3v.html

[3]E2LSH源码分析–p稳定分布LSH算法初探
http://blog.csdn.net/jasonding1354/article/details/38237353